Analisi matematica II: Teoria ed esercizi con complementi in by Claudio Canuto, Anita Tabacco

By Claudio Canuto, Anita Tabacco

Il testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica secondo i principi dei nuovi Ordinamenti Didattici. E' in particolare pensato in line with quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico è¨ parte significativa della formazione. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale di più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica del testo ricalca quella usata consistent with l'ANALISI I. los angeles modalit� di presentazione degli argomenti permette un uso flessibile e modulare del testo, in modo da rispondere alle different possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un corso di Analisi Matematica. Il libro presenta tre diversi livelli di lettura. Un livello "essenziale" permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia e di familiarizzare con le relative tecniche di calcolo. Un livello intermedio fornisce le giustificazioni dei principali risultati e arricchisce l'esposizione mediante utili osservazioni e complementi. Un terzo livello di lettura, basato su numerosi riferimenti advert un testo virtuale disponibile in rete, permette all'allievo più motivato ed interessato di approfondire l. a. sua preparazione sulla materia. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet� di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con los angeles relativa soluzione. in step with oltre l. a. met� di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

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25 ∞ k−1 k−1 k x ha i termini limitati per x = ±1, in quanto ≤ 1, k+1 k+1 k=0 per ogni k ≥ 0. Dunque, per la proposizione precedente, la serie converge per |x| < 1. Si noti che non converge per |x| ≤ 1 perch´e, per x = ±1, il termine generale non `e infinitesimo. 24 ha una conseguenza immediata ma fondamentale che enunciamo esplicitamente. 26 Se una serie di potenze k=0 0, allora converge assolutamente nell’intervallo aperto (−|x1 |, |x1 |); se non converge in un punto x2 = 0, allora non converge in nessun punto delle semirette (|x2 |, +∞) e (−∞, −|x2 |).

1). ∞ ` possibile dimostrare che la convergenza assoluta delle serie E ∞ una condizione sufficiente per la convergenza della serie ∞ ck = k=0 ∞ ak k=0 bk k=0 k=0 bk `e k=0 ck ; in tal caso si ha k=0 ∞ ∞ ak e = st . 6 Esercizi 1. Scrivere il termine generale an delle seguenti successioni e calcolare lim an : n→∞ a) 1 2 3 4 , , , ,... 2 3 4 5 2 3 4 5 b) − , , − , ,... 3 9 27 81 c) 0, 1, √ 2, √ 3, √ 4, . . 2. Studiare il comportamento delle seguenti successioni e, nel caso esista, calcolarne il limite: n+5 , n≥0 a) an = n(n − 1) , n ≥ 0 b) an = 2n − 1 √ 3 n 2 + 6n2 √ , n≥0 c) an = , n ≥ 1 d) a = n 2 3n + n 1+ 3n e) an = 5n 3n+1 , n≥0 g) an = arctan 5n , f) n≥0 (−1)n−1 n2 , n2 + 1 h) an = 3 + cos nπ , n≥0 n≥0 n cos n , n≥0 n3 + 1 √ √ log(2 + en ) m) an = n + 3 − n , n ≥ 0 , n≥1 n) an = 4n (−3)n o) an = −3n + log(n + 1) − log n , n ≥ 1 p) an = , n≥1 n!

B) Indeterminata. 1 i)) si ha 4n ( 3 )n − 1 lim an = lim n 4−n = −1 ; n→∞ n→∞ 4 (4 + 1) quindi la successione converge a −1. d) Diverge a +∞. e) Scriviamo an = 2n 2n − 1 n+2 n+1 2n(2n − 1) · · · (n + 2)(n + 1) = · ··· · > n + 1, n(n + 1) · · · 2 · 1 n n−1 2 1 poich´e lim (n+1) = +∞, per il secondo Teorema del confronto (caso infinito), n→∞ si deduce che la successione diverge a +∞. f) Converge a 1. g) Poich´e n2 − n + 1 , an = exp n2 + 2 log 2 n +n+2 studiamo la successione bn = n2 − n + 1 = n2 + n + 2 n2 + 2 log Osserviamo che lim n→∞ n2 + 2 log 1 − 2n + 1 n2 + n + 2 2n + 1 =0 +n+2 n2 e quindi log 1 − 2n + 1 +n+2 n2 ∼− 2n + 1 , +n+2 n2 n → ∞.

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