Analisi Matematica II by Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

By Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

Il presente testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico parte significativa della formazione dell'allievo.

I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica dell'opera ricalca quella usata nel testo parallelo di Analisi Matematica I. l. a. modalit`di presentazione degli argomenti ne permette un uso flessibile e modulare. Lo stile adottato privilegia los angeles chiarezza e los angeles linearit`dell'esposizione. Il testo organizzato su due livelli di lettura. Uno, più essenziale, permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia, di familiarizzarsi con le relative tecniche di calcolo e di trovare le giustificazioni dei principali risultati. L'altro, più approfondito e basato anche sullo studio del materiale presentato nelle appendici, permette all'allievo maggiormente motivato ed interessato di arricchire l. a. sua preparazione. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet`di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con los angeles relativa soluzione. in line with oltre los angeles met`di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

Questa nuova edizione si presenta arricchita di contenuti rispetto alla precedente in modo da rispondere alle varied possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un secondo corso di Analisi Matematica.

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2 ∞ ak converge, vale la condizione necessaria lim ak = 0. 8. Poich´e la serie k=1 Pertanto lim k→∞ 1 non pu` o valere 0 e dunque la serie ak k→∞ ∞ k=1 1 non pu`o convergere. ak 9. Studio della convergenza di serie a termini positivi: a) Converge. b) Osserviamo che il termine generale ak tende a +∞ per k → ∞. 6 la serie diverge positivamente. 15. 14: ak+1 3k+1 k! = lim ; k→∞ ak k→∞ (k + 1)! 3k lim scrivendo (k + 1)! = (k + 1)k! e semplificando, si ottiene lim k→∞ ak+1 3 = 0. = lim k→∞ k + 1 ak Ne segue che la serie converge.

Sia A l’insieme di convergenza della serie ak xk . k=0 Se A = {0}, si ha il caso a). Se A = R, si ha il caso b). 26, la serie converge puntualmente e assolutamente per ogni x ∈ R. Per quanto riguarda la convergenza uniforme su un intervallo [a, b], poniamo L = max(|a|, |b|). 20 con Mk = |ak |Lk . Si supponga ora che A contenga punti diversi da 0 ma che non sia l’intera retta. 26, A non pu` o contenere alcun punto x con |x| > |x|, quindi l’insieme A `e limitato. Poniamo R = sup A; si ha R > 0, perch´e A non si riduce al solo {0}.

K=k0 a Si usa dire che la serie `e integrabile termine a termine. 19 (Derivazione per serie) Sia {fk }k≥k0 una successione di funzioni di classe C 1 su un intervallo I = [a, b]. Supponiamo che esistano due funzioni s e t definite su I tali che ∞ i) fk (x) = s(x) , ∀x ∈ I; fk (x) = t(x) , ∀x ∈ I e la convergenza sia uniforme su I. k=k0 ∞ ii) k=k0 ∞ Allora s ∈ C 1 (I) e si ha s = t. Inoltre fk converge uniformemente a s k=k0 ∞ fk converge uniformemente a s ). su I (e k=k0 In altre parole, il teorema afferma che ∞ ∞ fk (x) = k=k0 fk (x) , ∀x ∈ I .

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